定义
Armstrong 公理系统是用于推导函数依赖的一组基本规则，在数据库理论中非常重要。该公理系统由美国计算机科学家 William W. Armstrong 提出，旨在用以推导给定函数依赖集合中所有隐含的函数依赖。通过这些规则，数据库设计者可以推导出所有有效的依赖关系，确保数据库设计的规范化和一致性。
具备的特性
- 有效性
- 完备性
规则描述
Armstrong 公理系统由以下三条基本规则（也称为推理规则）构成：
- 自反性（Reflexivity）
如果 Y ⊆ X ，则 X → Y 。
• 如果 Y 是 X 的子集，那么 X 可以函数依赖于 Y。这条规则表明：一个属性集总是函数依赖于它的任意子集。
示例： 对于 X = {A, B} 和 Y = {A} ，因为 Y 是 X 的子集，所以 {A, B} → {A} 成立。
- 增广性（Augmentation）
如果 X → Y ，则 XZ → YZ 对任意 Z 成立。
• 如果 X 函数依赖于 Y，那么 X 和 Z 的联合也会函数依赖于 Y 和 Z 的联合。
示例： 如果 A → B ，那么 AC → BC 。
- 传递性（Transitivity）
如果 X → Y 且 Y → Z ，则 X → Z 。
• 这条规则类似于数学中的传递关系，如果 X 依赖于 Y，Y 依赖于 Z，那么可以推导出 X 依赖于 Z。
示例： 如果 A → B 且 B → C ，那么 A → C 。
其他派生规则
• 合并律（Union Rule）：如果 X → Y 且 X → Z ，则 X → YZ 。(`合并律=增广+传递`)
• 分解律（Decomposition Rule）：如果 X → YZ ，则 X → Y 且 X → Z 。
• 伪传递律（Pseudo Transitivity Rule）：如果 X → Y 且 YZ → W ，则 XZ → W 。
Armstrong 公理系统的用途
- 推导隐含依赖：通过 Armstrong 公理系统，可以从已知的函数依赖推导出其他隐含的依赖关系
- 验证最小依赖集：通过推理，可以检查一个函数依赖集是否是最小的，即是否包含冗余的依赖
- 确保
无损分解：在进行数据库表的分解时，利用函数依赖可以确保分解是无损连接的（lossless decomposition），保证数据完整性